Question

11．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点．
（Ⅰ） 求证：平面B₁FC∥平面EAD；
（Ⅱ）求证：平面CBC₁⊥平面EAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及三角形中位线的性质可得DE∥CB₁，AE∥FB₁，即可证明平面B₁FC∥平面EAD；
（Ⅱ）先证明AD⊥BC，又CC₁⊥AD，即可证明AD⊥平面BCC₁，从而证明平面CBC₁⊥平面EAD．

解答 证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点．
∴DE∥CB₁，AE∥FB₁，
∵DE∩AE=E，CB₁∩FB₁=B₁，DE，AE?平面EAD，CB₁，FB₁?平面B₁FC
∴平面B₁FC∥平面EAD；
（Ⅱ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点．
∴AD⊥BC，
又∵CC₁⊥AD，BC∩CC₁=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁，
又∵AD?平面EAD，
∴平面CBC₁⊥平面EAD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．