Question

给出下列四个命题
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

是在定义域上的奇函数”的充分不必要条件；
④函数y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都是减函数
其中正确的命题是

①

．（将所有正确的命题序号填在横线上）．

Answer 1

分析：根据函数定义域求法，可得①是真命题；根据幂函数与指数函数的值域求法，可得②是假命题；根据函数奇偶性的定义，用比较系数法加以验证可得③当中应该是充要条件，故不正确；根据二次函数与指数函数的图象与性质，得到④不正确．由此得到本题的答案．

解答：解：由于y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定义域都是R，
所以①是真命题；
由于函数y=x³的值域是R，而函数y=3^x的值域是（0，+∞）
所以y=x³与y=3^x的值域不相同，可得②是假命题；
对于③，当a=1时，函数f（x）=

a-ex

1+aex

即f(x)=

1-ex

1+ex

，满足f（-x）=

-1+ex

1+ex

=-f（x）是奇函数；
反之若f（x）=

a-ex

1+aex

是奇函数，由f（-x）=-f（x）比较系数得a=-1
故“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

是在定义域上的奇函数”的充要条件，可得③是假命题；
对于④，二次函数y=（x-1）²在区间[0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数
y=2^x-1在区间[0，+∞）上是增函数
因此y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都不是减函数，得④不正确
综上所述，其中的正确命题是①
故答案为：①

点评：本题由几个命题的真假判断，考查了二次函数、幂函数与指对数函数的图象与性质，函数的单调性与奇偶性等知识，属于中档题．