【题目】已知函数(,是自然对数的底数)
(Ⅰ) 设(其中是的导数),求的极小值;
(Ⅱ) 若对,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求出,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间,结合单调性可求得函数的极值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在(0,1)上单调递减,.讨论当时,当时两种情况,分别利用对数以及函数的单调性,求出函数最值,从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.
(Ⅰ),.
令,∴,
∴在上为增函数,.
∵当时,;当时,,
∴的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∴.
当时,,在上单调递增,,满足条件;
当时,.
又∵,∴,使得,
此时,,;,,
∴在上单调递减,,都有,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到其回归直线的方程为,计算其相关系数为,相关指数为.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为,相关系数为,相关指数为.以下结论中,不正确的是( )
A.>B.>0,>0C.=0.12D.0<<0.68
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中不一定正确的是( ).
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】如图1,在矩形中,,,点在线段上,且,现将沿折到的位置,连结,,如图2.
(1)若点在线段上,且,证明:;
(2)记平面与平面的交线为.若二面角为,求与平面所成角的正弦值.
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【题目】设为平面上个点的集合,其中任三点不共线,任四点不共圆.一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上,个点在圆内,个点在圆外.求证:好圆的个数与有相同的奇偶性.
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【题目】某工厂共有员工5000人,现从中随机抽取100位员工,对他们每月完成合格产品的件数进行统计,统计表格如下:
(1)工厂规定:每月完成合格产品的件数超过3200件的员工,会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手”称号与性别有关?
(2)为提高员工劳动的积极性,该工厂实行累进计件工资制:规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的(包括2600件),计件单价为1元;超出(0,200]件的部分,累进计件单价为1.2元;超出(200,400]件的部分,累进计件单价为1.3元;超出400件以上的部分,累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率,在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,设实得计件工资(实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资)超过3100元的人数为,求的分布列和数学期望.
附:,
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【题目】下列说法中,正确的命题是( )
A.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则,的值分别是和0.3;
B.事件为必然事件,则事件、是互为对立事件;
C.设随机变量,若,则;
D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件“4个人去的景点各不相同”,事件“甲独自去一个景点”,则.
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