Question

（16）下面是关于三棱锥的四个命题：

①     底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

②     底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

③     底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。

④     侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的三面角都相等的三棱锥是正三棱锥。其中，真命题的编号是_____________________.(写出所有真命题的编号)

Answer 1

16.①，④

解析：①顶点在底面射影是内心，又底面是正三角形，故为中心.

②反例如下图.

正四面体S—ABC中，各边均相等，当其中一条边发生变化，其余各边不变，如图，令S移动到S′时，△S′CA、△S′BA和△S′BC均为等腰三角形.但S′—ABC不是正四面体.

③如下图，以正六边形ABDEFG的一边AB为边，作正△ABC，正六边形的中心O为三棱锥S—ABC的顶点S的射影，满足条件：三棱锥的侧面积全相等.

∴③错误.

④侧棱与底面成的角都相等;顶点在底面射影是三角形的外心，侧面与底面成的角都相等，顶点在底面射影是底面三角形内心，二心合一即为中心.