如图,在三棱柱中,
底面
,
,
,
分别是棱
,
的中点,
为棱
上的一点,且
//平面
.
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
(1);(2)详见解析;(3)二面角
的余弦值为
.
解析试题分析:(1)求的值,关键是找
在
的位置,注意到
平面
,有线面平行的性质,可得
,由已知
为
中点,由平面几何知识可得
为
中点,从而可得
的值;(2)求证:
,有图观察,用传统方法比较麻烦,而本题由于
底面
,所以
,
,又
,这样建立空间坐标比较简单,故以
为原点,以
分别为
轴,建立空间直角坐标系
,取
,可写出个点坐标,从而得向量
的坐标,证
即可;(3)求二面角
的余弦值,由题意可得向量
是平面
的一个法向量,只需求出平面
的一个法向量,可设平面
的法向量
,利用
,即可求出平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求出二面角
的余弦值.
(1)因为平面
又平面
,平面
平面
,
所以. 3分
因为为
中点,且侧面
为平行四边形
所以为
中点,所以
. 4分
(2)因为底面
,
所以,
, 5分
又,
如图,以为原点建立空间直角坐标系
,设
,则由
可得
6分
因为分别是
的中点,
所以. 7分
. &
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在棱长为2的正方体中,
分别是棱
的中点,点
分别在棱
,
上移动,且
.
当时,证明:直线
平面
;
是否存在,使平面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E﹣l﹣C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱中,P是侧棱
上的一点,
.
(1)试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º;
(2)在线段上是否存在一个定点
,使得对任意的m,
⊥AP,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,.
(1)证明:;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如右图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,
(1)试证:A1、G、C三点共线;
(2)试证:A1C⊥平面BC1D;
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