分析 (1)设抛物线的方程为x2=2py,由题意可得p=2,进而得到抛物线的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,运用韦达定理,求得M,N的横坐标,运用弦长公式,化简整理,即可得到所求范围.
解答 解:(1)由题意可设抛物线的方程为x2=2py,
由焦点为F(0,1),可得$\frac{p}{2}$=1,即p=2,
则抛物线的方程为x2=4y;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=kx+1,代入x2=4y,得
x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,
$|{x_1}-{x_2}|=4\sqrt{{k^2}+1}$,
由y=x-2和y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x联立,得${x_M}=\frac{8}{{4-{x_1}}}$,同理${x_N}=\frac{8}{{4-{x_2}}}$,
所以$|MN|=\sqrt{2}|{x_M}-{x_N}|$=$\frac{{8\sqrt{2}\sqrt{{k^2}+1}}}{|4k-3|}$,
令4k-3=t,t≠0,则$k=\frac{t+3}{4}$,
则$|MN|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{25}{t^2}+\frac{6}{t}+1}=2\sqrt{2}\sqrt{{{(\frac{5}{t}+\frac{3}{5})}^2}+\frac{16}{25}}≥\frac{8}{5}\sqrt{2}$,
则所求范围为$[{\frac{8}{5}\sqrt{2},+∞})$.
点评 本题考查抛物线的方程的求法,注意运用待定系数法,考查直线方程和抛物线的方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5π | B. | 9π | C. | 16π | D. | 25π |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com