Question

某糖果厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，它们的质量（单位：克）的分组区间为（990，995]，（995，1000]，…（1010，1015]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）求图中x的值，并由此估计：从该流水线上任取一件产品其质量在1000～1010克的概率；
（Ⅱ）从该流水线上任取3件产品（可看作有放回的产品抽样），其中恰有X件产品的质量在1000～1010克，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，建立等式求出x的值即可，然后求出在1000～1010上的矩形面积，从而估计从该流水线上任取一件产品其质量在1000～1010克的概率；
（II）由频率分布直方图中各组的频率，我们易得X～B（3，0.6）．然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．

解答：解：（I）∵（0.01+0.03+0.04+0.05+x）×5=1
∴x=0.07
在1000～1010上的矩形面积为（0.07+0.05）×5=0.6
∴估计从该流水线上任取一件产品其质量在1000～1010克的概率为0.6；
（II）由题意知，X～B（3，0.6）．
因此P（X=0）=C₃⁰×0.4³=0.064，
P（X=1）=C₃¹×0.6×0.4²=0.288，
P（X=2）=C₃²×0.6²×0.4=0.432，
P（X=3）=C₃³×0.6³=0.216．
故随机变量X的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

∴E（X）=1×0.288+2×0432+3×0.216=1.8

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及频率分布直方图，同时考查了识图能力，属于中档题．