Question

四名男生和三名女生按要求站成一排,分别有多少种不同的站法?

(1)甲不站在两端;

(2)甲、乙二人不能站在两端;

(3)甲、乙二人之间间隔两个人;

(4)四名男生站在一起,三名女生站在一起;

(5)男女互相间隔开;

(6)三名女生排列顺序一定.

Answer 1

解析:(1)方法一:因为甲不在两端,分两步排队,首先从甲以外的6个人中任选两人站在左、右两端,有种方法,然后让剩下的5个人(其中包括甲)站在中间的5个位置上,有种方法,因此共有·=3 600种站法.

(注:这里使用的方法称为“位置分析法”)

方法二:因为甲不在两端,分两步排队,首先排甲,有种方法,第二步让其他6人站在其他6个位置上,有种方法,故有·=3 600种站法.

(注:这里使用的方法称为“元素分析法”)

方法三:第一步先让甲以外的人站队,有种方法,第二步让甲插入这6个人之间的空当中,有种,故共有·=3 600种站法.

(注:这种解法称为“插空法”)

方法四:在排队时,对7个人,不考虑甲的站法要求任意排列,有种方法,但其中包括甲在左端或右端的情况有2种方法,因此共有-2=3 600种站法.

(注:这种解法称为“间接法”或“排异法”)

(2)方法一:甲、乙两人为特殊元素,先考虑甲、乙的站法,除两端的其余5个不同位置都可排甲、乙,有种排法,再考虑其余5个元素的排法有种,根据分步计数原理,甲、乙二人不能站在两端的排法有·=5×4×5!=2 400种.

方法二:甲、乙两人不能站在两端,应包括同时不在两端,某一人在两端,故用排异法,应减去两种情况,同时在两端, 有·种,某一人在两端,有2···种,故有-·-2··=2 400种不同站法.

(3)分三步:第一步,从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种方法,第二步,把甲、乙及中间2人看作一个元素与剩下的3个人作全排列,有种方法,第三步,对甲、乙进行全排列,故共有··=960种不同站法.

(4)方法一:男生站在前4个位置上有种站法,女生站在后三个位置上有种站法,男女生站成一排是分两步完成的,因此这种站法共有·种,而女生站在前三个位置上,男生站在后四个位置上也有·种站法,这两种站法都符合要求,所以四名男生站在一起、三名女生也站在一起的站法共有2·=288种.

方法二:把站在一起的四名男生看作一个整体,站在一起的女生也看成一个整体,这样解决这个问题可分为三个步骤:选排男生、女生这两个整体,有种排法,然后排四名男生,有种排法,最后排三名女生,有种排法,根据分步计数原理,将四名男生站在一起,三名女生站在一起的站法有··=288种.

(注:此种方法称为“捆绑法”)

(5)不妨先排男生,有种排法,在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生,有种,因此共有·种排法符合要求,故四名男生三名女生相间排列的排法共有·=144种.

(6)在7个位置上任意排列7名学生,有排法种,由于女生的顺序一定,而在中每一种情况均以计算,故三名女生顺序一定的排法有=840种.

小结:“元素分析法”“位置分析法”是解决排列问题的基本方法,它们的共同点是先考虑特殊元素的要求,以特殊元素为轴心展开讨论;解决带有限制条件的排列问题除“轴心法”外,还有间接法即淘汰法.直接法、间接法、插入法、捆绑法,都是分析问题的常用方法.