Question

18．已知x、y为正数，且$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+y}$=1，则xy的最小值为25．

Answer 1

分析 先解出y得y=$\frac{2x+5}{x-2}$（x＞2），再裂项xy=2•[（x-2）+$\frac{9}{x-2}$]+13，最后用基本不等式求最值．

解答 解：由$\frac{3}{1+x}$+$\frac{3}{1+y}$=1解得y=$\frac{2x+5}{x-2}$（x＞2），
所以，xy=x•$\frac{2x+5}{x-2}$
=$\frac{2x^2+5x}{x-2}$=$\frac{2（x-2）^2+13（x-2）+18}{x-2}$
=2•[（x-2）+$\frac{9}{x-2}$]+13
≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{9}{x-2}}$+13=25，
当且仅当：x=5时，取“=”，此时，y=5，
即xy的最小值为：25，
故答案为：25．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，通过消元，配方，裂项，基本基本不等式求最值，属于中档题．