Question

由坐标原点O向函数y=x³-3x²的图象W引切线l₁，切点为P₁（x₁，y₁）（P₁，O不重合），再由点P₁引W的切线l₂，切点为P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合），…，如此继续下去得到点列{P_n（x_n，y_n）}．
（Ⅰ）求x₁的值；
（Ⅱ）求x_n与x_n+1满足的关系式；
（Ⅲ）求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=x³-3x²，知y′=3x²-6x．再由切线l₁的方程为y-（x₁³-3x₁²）=（3x₁²-6x₁）（x-x₁）过点O（0，0），知-（x₁³-3x₁²）=-x₁（3x₁²-6x₁），由此能求出x₁的值．
（Ⅱ）由过点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切线l_n+1的方程为y-（x_n+1³-3x_n+1²）=（3x_n+1²-6x_n+1）（x-x_n+1）过点P_n（x_n，y_n），知（x_n-x_n+1）²（x_n+2x_n+1-3）=0，由此能求出x_n与x_n+1满足的关系式．
（Ⅲ）由xn+1=-

1

2

xn+

3

2

，知xn+1-1=-

1

2

(xn-1)，
∴{x_n-1}是以x1-1=

1

2

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，由此能求出数列{x_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）∵y=x³-3x²，∴y′=3x²-6x．
∵过点P₁（x₁，y₁）的切线l₁的方程为y-（x₁³-3x₁²）=（3x₁²-6x₁）（x-x₁），
又l₁过点O（0，0），
∴-（x₁³-3x₁²）=-x₁（3x₁²-6x₁），
∴2x₁³=3x₁²，∴x1=

3

2

或x₁=0．∵P₁与O不重合，
∴x1=

3

2

．（5分）
（Ⅱ）∵过点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切线l_n+1的方程为y-（x_n+1³-3x_n+1²）=（3x_n+1²-6x_n+1）（x-x_n+1），
又l_n+1过点P_n（x_n，y_n），
∴x_n³-3x_n²-（x_n+1³-3x_n+1²）=（3x_n+1²-6x_n+1）（x_n-x_n+1），
整理得（x_n-x_n+1）²（x_n+2x_n+1-3）=0，
由已知得x_n≠x_n+1，
∴x_n+2x_n+1=3．（10分）
（Ⅲ）∵xn+1=-

1

2

xn+

3

2

，
∴xn+1-1=-

1

2

(xn-1)，
∴{x_n-1}是以x1-1=

1

2

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，
∴xn-1=

1

2

(-

1

2

)n-1，
即xn=1-(-

1

2

)n．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．