Question

4．在△ABC中，已知sin（A-B）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，cos（π-B）=-$\frac{1}{2}$．
（1）求sinA；
（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c且a=5，求b，c．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可求cosB=$\frac{1}{2}$，由B∈（0，π），可得B，由已知A∈（0，π），A-B∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），可求cos（A-B），根据sinA=sin[（A-B）+B]即可求值．
（2）由（1）及正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$的值，利用同角三角函数关系式可求cosA，根据两角和的正弦函数公式可求sinC，利用正弦定理即可求c的值．

解答 解：（1）∵cos（π-B）=-cosB=-$\frac{1}{2}$．解得：cosB=$\frac{1}{2}$，由于B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$．
∵sin（A-B）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，A∈（0，π），A-B∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴cos（A-B）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（A-B）}$=$\frac{13}{14}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sinA=sin[（A-B）+B]=sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=（-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{13}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
（2）由（1）及正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7，
∵sin（A-B）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，A∈（0，π），A-B∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），A为锐角．
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{2}+$$\frac{11}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{5×\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=8．

点评 本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数关系式，正弦定理的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．