Question

已知抛物线C：x²=2my（m＞0）和直线l：y=x-m没有公共点（其中m为常数）．动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（1，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，求的值．

Answer 1

解：（1）如图，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=，得y′=，∴PM的斜率为，PM的方程为y=x-y₁
同理得PN：y=x-y₂，
设P（x₀，y₀）代入上式得 y₀=x₀-y₁，y₀=x₀-y₂，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）满足方程y₀=x₀-y
故MN的方程为y=x-y₀=x-（x₀-m）
上式可化为y-m=（x-m），过交点（m，m）
∵MN过交点Q（1，1），
∴m=1
∴抛物线C的方程为x²=2y
（2）设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则=…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（1，1）
∴PQ直线方程为y-1=（x-1），
与x²=2y联立化简x²-x+-2=0
∴x₃x₄=…①，x₃+x₄=…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
则分子2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=…（Ⅱ）
又P点在直线y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入（Ⅱ）中得：2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0
∴==0
分析：（1）对C的函数求导数，设出两个切点的坐标，求出导函数在切点处的导数值即切线的斜率，利用点斜式写出切线
PM，PN 的方程，将P的坐标代入得到MN的方程，据直线的点斜式判断出MN过的定点，据已知求出抛物线C的方程．
（2）设出直线PQ的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得解．
点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般是设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，然后利用韦达定理找突破口．