【题目】某高校在2019的自主招生考试中,考生笔试成绩分布在,随机抽取200名考生成绩作为样本研究,按照笔试成绩分成5组,第1组成绩为
,第2组成绩为
,第3组成绩为
,第4组成绩为
,第5组成绩为
,样本频率分布直方图如下:
(1)估计全体考生成绩的中位数;
(2)为了能选拨出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试,求这2名学生均来自同一组的概率.
【答案】(1)17250;(2).
【解析】
(1)由频率分布直方图中把频率(矩形面积)等分的点对应的成绩为中位数.
(2)由频率分布直方图中的频率求出从三组中各抽取的人数,并编号,用列举法写出任取2人的事件,并列出来自同一组的事件,计算个数后可求概率.
(1)样本中位数为,从频率分布直方图可知
,
从而有,解得
故全体考生成绩的中位数约为17250.
(2)记A为事件“这两名学生均来自同一组”,用分层抽样第3组抽取2人,第4组抽取3人,第5组抽取1人, 记第3组学生为,第4组学生为
,第5组学生为
;
从这6人中抽取2人有15种方法,分别为:
其中事件A共有4种,为
由古典概型公式得
故这两名学生均来自同一组的概率为.
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【题目】给定整数(
),设集合
,记集合
.
(1)若,求集合
;
(2)若构成以
为首项,
(
)为公差的等差数列,求证:集合
中的元素个数为
;
(3)若构成以
为首项,
为公比的等比数列,求集合
中元素的个数及所有元素之和.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍
B.设有一个回归方程,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
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【题目】口袋中放有20个球,其中白球9个、红球5个、黑球6个,现从中任取10个球,使得白球不少于个不多于7个,红球不少于2个不多于5个、黑球不多于3个的取法种数是( )
A. 14 B. 24
C. 13 D. 36
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数
,其拟合指数
;研究人员乙采用函数
,其拟合指数
;研究人员丙采用线性函数
,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数
与拟合指数
满足关系
).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本
的相关系数
,
,
,
.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
分别为
的左、右顶点,
是
上异于
的动点,
面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线与直线
的斜率乘积为定值;
(3)设直线,
分别交直线
于
两点,以
为直径作圆,当圆的面积最小时,求该圆的方程.
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