Question

下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F₁、F₂为焦点，设图（1），（2），（3）中的双曲线的离心率分别为e₁、e₂、e₃．则e₁、e₂、e₃的大小关系为______．

Answer 1

①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（

1

2

，

3

2

），
∵点（

1

2

，

3

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 -1

2

，c=1，∴e₁=

3

+1．
②正方形的边长为

2

，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（

1

2

，

1

2

）．
∵点（

1

2

，

1

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 - 2

4

，c=1，∴e₂=

10 + 2

2

．
③设正六边形的边长为2，以F₁F₁所在直线为x轴，以F₁F₁的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，

3

），
∵点（1，

3

）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2

3

和2，
∴a=

3

-1，c=2，∴e₃=

3

+1，
∴e₁=e₃＞e₂．
故答案为：e₁=e₃＞e₂．