Question

【题目】如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为 的正方形，PA⊥BD．

（1）求证：PB=PD；
（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AC，BD交于点O，连结PO．

∵底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OB=OD．

又PA⊥BD，PA平面PAC，AC平面PAC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，∵PO平面PAC，

∴BD⊥PO．

又OB=OD，

∴PB=PD．

（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，

则EQ∥CD，EQ= CD，又AF∥CD，AF= = ，

∴EQ∥AF，EQ=AF，

∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，

∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，

∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，

∴AP=AD= ．

∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，

又AD⊥CD，AQ∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．

又BD⊥PA，BD∩CD=D，

∴PA⊥平面ABCD．

以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（ ，0，0），P（0，0， ），A（0，0，0），Q（0， ， ）．

∴ =（0， ， ）， =（ ，0，﹣ ）．

∵AQ⊥平面PCD，∴ 为平面PCD的一个法向量．

∴cos＜ ＞= =﹣ ．

设直线PB与平面PCD所成角为θ，

则sinθ=|cos＜ ＞|= ．

∴直线PB与平面PCD所成角为 ．

【解析】（1）底面ABCD为正方形，故其对角线平分且垂直，AC⊥BD，PA⊥BD，所以BD⊥面PAC，由线面垂直可得出PO⊥BD，由三线合一反推出此为等腰三角形，（2）以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量求出直线PB与平面PCD所成角.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．