Question

1．已知tanα=3，计算：
（1）5cosα+3sinα；
（2）sinαcosα．

Answer 1

分析 利用弦化切思想，结合已知，
（1）先求（5cosα+3sinα）²=25cos²α+30sinαcosα+9sin²α=$\frac{25{cos}^{2}α{+30sinα•cosα+9sin}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$⁼$\frac{25{+30tanα+9tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$的值，可求（1）的值；
（2）将sinαcosα=$\frac{{sinα•cos}^{\;}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{{tanα}^{\;}}{{tan}^{2}α+1}$可求（2）的值；

解答 解：∵tanα=3，
（1）（5cosα+3sinα）²=25cos²α+30sinαcosα+9sin²α=$\frac{25{cos}^{2}α{+30sinα•cosα+9sin}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{25{+30tanα+9tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{25+90+81}{10}$=$\frac{196}{10}$=$\frac{98}{5}$，
∴5cosα+3sinα=$\frac{7\sqrt{10}}{5}$，或5cosα+3sinα=-$\frac{7\sqrt{10}}{5}$，
（2）sinαcosα=$\frac{{sinα•cos}^{\;}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{{tanα}^{\;}}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系的运算--弦化切思想，难度中档．