Question

【题目】已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移 个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间 内的最大值为 ．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设得 ，

∴ ，

因为当 时， ，

所以由已知得 ，即 时， ，

所以m=1；

（2）解：由已知 ，

因为三角形中 ，

所以 ，

所以 ，即 ，

又因为a+c=2，由余弦定理得： ，

当且仅当a=c=1时等号成立，

又∵b＜a+c=2，∴1≤b＜2，

所以△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），

故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．

【解析】（1）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定g（x）的解析式，根据x的范围和三角函数的图象与性质确定g（x）的最大值的解析式，求得m．（2）根据第一问中函数的解析式确定B的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b的范围，最后确定周长的范围．