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在△ABC中,已知角A为锐角,角A、B、C的对边分别为a、b、c,sinA=
2
2
3

(1)求tan2
B+C
2
+sin2
A
2
的值;
(2)若a=2
2
S△ABC=
2
,求b的值.
分析:(1)由A为锐角,根据sinA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,原式利用同角三角函数间的基本关系变形,再利用诱导公式化简,整理后将cosA的值代入计算即可求出值;
(2)利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积与sinA的值代入求出bc的值,利用余弦定理列出关系式,将a,cosA的值代入并利用完全平方公式化简,把bc的值代入求出b2+c2的值,两式联立即可求出b的长.
解答:解:(1)∵在△ABC中,角A为锐角且sinA=
2
2
3

∴cosA=
1-sin2A
=
1
3

则原式=tan2
π-A
2
+sin2
A
2
=
sin2(
π
2
-
A
2
)
cos2(
π
2
-
A
2
)
+sin2
A
2
=
cos2
A
2
sin2
A
2
+sin2
A
2
=
1+cosA
1-cosA
+
1-cosA
2
=
1+
1
3
1-
1
3
+
1-
1
3
2
=
7
3

(2)由S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc×
2
2
3
=
2
,得bc=3①,
由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
即8=b2+c2-
2
3
bc=b2+c2-2,
整理得:b2+c2=10②,
由①②,
解得:b=1或b=3.
点评:此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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3
c=
2
,则B=
 
,A=
 

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π
3
π
3

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3
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3
ab

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(2)如果0<A≤
3
m=2cos2
A
2
-sinB-1
,求实数m的取值范围.

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