(2008•南汇区二模)数列{an}各项均为正数.Sn为其前n项的和．对于n∈N*.总有an.Sn.an2成等差数列．(1)求数列{an}的通项an,(2)设数列{1an}的前n项和为Tn.数列{Tn}的前n项和为Rn.求证:当n≥2.n∈N时.Rn-1=n(Tn-1),(3)若函数f(x)=1(p-1)•3qx+1的定义域为Rn.并且limn� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2008•南汇区二模）数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{

}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N时，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函数f(x)=

(p-1)•3qx+1

的定义域为R_n，并且

lim

n→∞

f(an)=0(n∈N*)，求证p+q＞1．

分析：（1）主要利用等差中项得出S_n与a_n的关系式，在利用 an =

S1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2

可求出a_n．
（2）就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和R_k=R_k-1+T_k就可证出．
（3）先说明：q≠0．如果q=0，则f(x)=

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0；再根据(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

)x恒成立．由于q≠0时，-(

)x的值域为（-∞，0），结合条件得出3^q＞1从而得出p+q＞1．

解答：解：（1）由已知n∈N^*时，2S_n=a_n+a_n²总成立．∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2），
两式作差，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），∵a_n、a_n-1均为正数．∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．∴{a_n}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S₁=2a₁=a₁+a₁²，得a₁=1，故a_n=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，R1=T1=

=1，2(T2-1)=2(

-1)=1．∴n=2时，等式成立
②假设当n=k（k≥2）时，

Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1-

ak+1

)-k

=(k+1)(Tk+1-

k+1

)-k=(k+1)(Tk+1-1+1-

k+1

)-k=(k+1)(Tk+1-1).

当n=k+1时，等式也成立.

综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则f(x)=

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

)x恒成立．由于q≠0时，-(

)x的值域为（-∞，0），
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.

lim

n→∞

f(an)≠0，
∴p＞1．
∵

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

(p-1)•3qn+1

0＜3q＜1

3q=1

，，

left

0&3q

＞

∴3^q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分

点评：本题的第1问比较简单，主要考查了 an =

S1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2

这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．

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