Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（ ，m）到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．
（1）求抛物线的方程；
（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E．试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（ ，0），准线方程为x=﹣ ，

由题意点 到准线的距离为|PO|，

由抛物线的定义，可得点P到准线的距离为|PF|，

即有|PO|=|PF|，即点 在线段OF的中垂线上，

则 = ，解得p=3，则抛物线的方程为y2=6x

（2）解：四边形AEBF为菱形．

证明：抛物线y2=6x的焦点为F（ ，0），准线方程为x=﹣ ，

由抛物线的对称性，设点 在x轴的上方，

由y2=6x，两边对x求导可得，2yy′=6，即y′= ，

可得点A处的切线的斜率为 ，

则点A处切线的方程为 ，

令上式中y=0，得 ，

可得点B的坐标为 ，又 ，

所以 ，

所以 ，所以FA∥BE，又AE∥FB，

故四边形AEBF为平行四边形，

再由抛物线的定义，得AF=AE，

所以四边形AEBF为菱形．

【解析】（1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义可得点 在线段OF的中垂线上，可得p=3，进而得到抛物线的方程；（2）四边形AEBF为菱形．由抛物线的对称性，设点 在x轴的上方，求出抛物线的切线的斜率和切线的方程，令y=0，求得B的坐标，E，F的坐标，由向量相等即可得到四边形的形状．