Question

（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），且椭圆C的离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁，A₂，Q是椭圆C上异于A₁，A₂的任一点，直线QA₁，QA₂分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=

16

7

相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题目给出的条件直接列关于a，b，c的方程组求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点Q，由直线方程的两点式写出直线QA₁，QA₂的方程，取y=0后得到OS和OT的长度，结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值；
（3）假设存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=

16

7

相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式，由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式，联立后可求解M的坐标．

解答：解：（1）由题意：

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得：a=2，b=

3

所以椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）可知A1(0，

3

)，A2(0，-

3

)，设Q（x₀，y₀），
直线QA₁：y-

3

=

y0- 3

x0

x，令y=0，得xS=

- 3 x0

y0- 3

；     
直线QA₂：y+

3

=

y0+ 3

x0

x，令y=0，得xT=

3 x0

y0+ 3

；
则|OS|•|OT|=|

- 3 x0

y0- 3

•

3 x0

y0+ 3

|=|

3 x 2 0

y 2 0 -3

|，
而

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，所以3

x

2 0

=4(3-

y

2 0

)，
所以|OM|•|ON|=|

3 x 2 0

y 2 0 -3

|=4；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则

m2

4

+

n2

3

=1，即m2=4-

4

3

n2．
设圆心到直线l的距离为d，则d=

2

m2+n2

，且d＜

4 7

7

．
所以|AB|=2

16 7 -d2

=2

16 7 - 4 m2+n2

．
所以S△OAB=

1

2

•|AB|•d=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

．
因为d＜

4 7

7

，所以m2+n2＞

7

4

，所以

16

7

-

4

m2+n2

＞0．
所以S△OAB=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

≤

( 4 m2+n2 + 16 7 - 4 m2+n2 2

)2=

8

7

．
当且仅当

4

m2+n2

=

16

7

-

4

m2+n2

，即m2+n2=

7

2

＞

7

4

时，S_△OAB取得最大值

8

7

．
由

m2+n2= 7 2 m2=4- 4 3 n2

，解得

m2=2 n2= 3 2

．
所以

m= 2 n= 6 2

或

m= 2 n=- 6 2

或

m=- 2 n= 6 2

或

m=- 2 n=- 6 2

．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
(

2

，

6

2

)，(

2

，-

6

2

)，(-

2

，

6

2

)或(-

2

，-

6

2

)．
此时△OAB的面积为

8

7

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．