Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，解不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=a-

2

2x+1

，知x∈R，利用定义法能证明f（x）在R上单调递增．
（2）由函数f(x)=a-

2

2x+1

为奇函数，知f（0）=0，由此能求出a．
（3）由f（x）为奇函数，f(log

1

4

x)+f(1)＞0，知f（log

1

4

x）＞-f（1）=f（-1），由f（x）在R上单调递增，知log

1

4

x＞-1，由此能求出不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0的解．

解答：解：（1）函数f（x）是增函数．下用定义法证明：
∵f(x)=a-

2

2x+1

，∴x∈R，
在R内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x）在R上单调递增．
（2）∵函数f(x)=a-

2

2x+1

为奇函数，
∴f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0，
解得a=1．
（3）∵f（x）为奇函数，f(log

1

4

x)+f(1)＞0，
∴f（log

1

4

x）＞-f（1）=f（-1），
∵f（x）在R上单调递增，
∴log

1

4

x＞-1，解得0＜x＜4．
∴不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0的解集为{x|0＜x＜4}．

点评：本题考查函数单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查不等式的解法．解题时要认真审题，仔细解答．