Question

9．已知函数f（x）=x²+ax+3，若f（x）在区间[1，4]上为单调函数，则a的范围是a≥-2或a≤-8；
变式为：已知函数f（x）=x²+ax+3．
①若y=f（x）在区间[1，4]有最大值10，则a的值为-$\frac{9}{4}$；
②若f（x）=0在区间[1，4]有两个不相等的实根，则a的范围为-4＜a＜-2$\sqrt{3}$；
③若f（x）=0在区间[1，4]有解，则a的范围为-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$；
④若y=f（x）在区间[1，4]内存在x₀，使f（x₀）＞0，则a的范围为a＞-$\frac{19}{4}$；
⑤若y=f（x）在区间[1，4]上恒为正数，则a的范围为a＞-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出对称轴，讨论对称轴和区间的关系，由单调性得到a的不等式，即可得到所求范围；
对于①，考虑端点处和顶点处的函数值最大，检验即可得到；对于②，考虑f（1），f（4），判别式大于0，对称轴介于（1，4），解不等式组，即可得到所求范围；对于③，由参数分离和分式函数的最值，即可得到所求范围；对于④，可得f（1）＞0或f（4）＞0，解不等式即可得到；对于⑤，由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=x²+ax+3的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
若区间[1，4]上为单调增函数，则-$\frac{a}{2}$≤1，解得a≥-2；
若区间[1，4]上为单调减函数，则-$\frac{a}{2}$≥4，解得a≤-8．
综上可得a≥-2或a≤-8；
对于①，可能为f（1）=10，或f（4）=10，或f（-$\frac{a}{2}$）=10，
即有a=6或a=-$\frac{9}{4}$或a∈∅，
当a=6时，区间[1，4]在对称轴x=-3的右边，为增区间，f（4）最大，舍去；
当a=-$\frac{9}{4}$时，区间[1，4]包含对称轴x=$\frac{9}{8}$，f（4）最大，成立．
即有a=-$\frac{9}{4}$；
对于②，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+4＞0}\\{f（4）=4a+19＞0}\\{{a}^{2}-12＞0}\\{1＜-\frac{a}{2}＜4}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜-2$\sqrt{3}$；
对于③，由题意可得-a=x+$\frac{3}{x}$在[1，4]有解，由x+$\frac{3}{x}$$≥2\sqrt{3}$，又1+3＜4+$\frac{3}{4}$，即有2$\sqrt{3}$≤-a≤$\frac{19}{4}$，
即有-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$；
对于④，由题意可得f（1）＞0或f（4＞0，解得a＞-$\frac{19}{4}$；
对于⑤，由题意可得-a＜x+$\frac{3}{x}$在[1，4]的最小值，由x+$\frac{3}{x}$$≥2\sqrt{3}$，当且仅当x=$\sqrt{3}$＞1，取得最小值，
即为-a＜2$\sqrt{3}$，解得a＞-2$\sqrt{3}$．
故答案为：a≥-2或a≤-8，a=-$\frac{9}{4}$，-4＜a＜-2$\sqrt{3}$，-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$，a＞-$\frac{19}{4}$，a＞-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，考查二次函数的值域和最值的求法，考查函数恒成立和存在问题，属于中档题和易错题．