Question

（文）已知一个动圆与圆M₁：（x+1）²+y²=1外切，同时又与圆M₂：（x-1）²+y²=25内切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（II）设经过圆M₁的圆心且不与坐标轴垂直的直线交（Ⅰ）中的轨迹C于两点A、B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求G点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由圆相切的性质可知MM₁=r+1，MM₂=5-r，则有MM₁+MM₂=6＞M₁M₂=2，由椭圆的定义可知动圆圆心M的轨迹是以M₁，M₂为焦点的椭圆，c=1，a=3，由b²=a²-c²可求b，进而可求
（II）由题意可知，直线AB过圆M₁的圆心且不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y=k（x+1），k≠0，联立

y=k(x+1) x2 9 + y2 8 =1

可得（9k²+8）x²+18k²x+9k²-72=0，由根据方程的根与系数的关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由中点坐标公式可求线段AB的中点为P（x₀，y₀），
进而可求过点P（x₀，y₀）且垂直于AB的直线l₂的方程为y-

8k

9k2+8

=-

1

k

(x+

9k2

9k2+8

)，令y=0可得点G的横坐标x，结合k的范围可求x的范围

解答：解：（I）不妨记圆M₁，M₂的圆心分别为M₁，M₂
由题意可知，动圆M与定圆与定圆M₁相外切与定圆M₂相内切
∴MM₁=r+1，MM₂=5-r（2分）
∴MM₁+MM₂=6＞M₁M₂=2（3分）
∴动圆圆心M的轨迹是以M₁，M₂为焦点的椭圆
由椭圆的定义可知，c=1，a=3，b²=a²-c²=8（4分）
∴所求的轨迹C的方程为

x2

9

+

y2

8

=1（5分）
（II）由题意可知，直线AB过圆M₁的圆心且不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y=k（x+1），k≠0
联立

y=k(x+1) x2 9 + y2 8 =1

可得（9k²+8）x²+18k²x+9k²-72=0（6分）
∴

△=182k4-4(9k2+8)(9k2-72)＞0 x1+x2=- 18k2 9k2+8 x1x2= 9k2-72 9k2+8

（7分）
设线段AB的中点为P（x₀，y₀），则x0=

-9k2

9k2+8

，y0=

8k

9k2+8

（9分）
过点P（x₀，y₀）且垂直于AB的直线l₂的方程为
y-

8k

9k2+8

=-

1

k

(x+

9k2

9k2+8

)（11分）
令y=0可得点G的横坐标x=-

k2

9k2+8

=-

1

9

+

8

9(9k2+8)

，k≠ 0
∴-

1

9

＜x＜0
∴所求的x的范围是(-

1

9

，0)（13分）．．

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，解题时要注意圆的外切与内切性质的应用，直线与椭圆相交关系中方程的根与系数关系的应用．