Question

已知奇函数f(x)=

ax+b

x2+1

在（-1，1）上是增函数，且f(

1

2

)=

2

5

①确定函数f（x）的解析式．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：①利用奇函数的性质f（0）=0，可求b，结合f(

1

2

)=

2

5

可求a，从而可求f（x）
②由f（x）为奇函数及f（t-1）+f（t）＜0 可得 f（t-1）＜f（-t），结合函数在（-1，1）上的单调性可得

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解不等式可求

解答：解：①因为 f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数
则 f（0）=0，得b=0
又因  f(

1

2

)=

2

5

则  

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

解得a=1
∴f(x)=

x

x2+1

②因奇函数f（x）在（-1，1）上是增函数
由f（t-1）+f（t）＜0得f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
所以有  

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解得  0＜t＜

1

2

点评：本题主要考查了奇函数的性质，及利用待定系数法求解函数的解析式，抽象函数奇偶性及单调性在解不等式中的应用．