Question

16．若不等式|2x+1|-|x-4|≥m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，-$\frac{5}{2}$]
• C． （-∞，-$\frac{9}{2}$]
• D． （-∞，-5]

Answer 1

分析 令f（x）=|2x+1|-|x-4|，然后将f（x）化成分段函数，则m的最大值为f（x）的最小值．

解答 解：令f（x）=|2x+1|-|x-4|，
当x≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-2x-1+x-4=-x-5，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3，
当x≥4时，f（x）=2x+1-x+4=x+5，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，4）上是增函数，在[4，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-5=-$\frac{9}{2}$．
∵|2x+1|-|x-4|≥m恒成立，即m≤f（x）恒成立，
∴m≤f_min（x），即m≤-$\frac{9}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了绝对值在分段函数中的应用，正确去掉绝对值符号是关键．