【题目】椭圆中心是原点O,它的短轴长为 ,右焦点F(c,0)(c>0),它的长轴长为2a(a>c>0),直线l: 与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)若 ,求直线PQ的方程;
(3)设 (λ>1),过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明: .
【答案】
(1)解:如图,
设椭圆方程为 .
由|OF|=2|FA|,得c=2( ),整理得:3c2=2a2,∴e= .
联立 ,解得:a2=6,b2=2.
∴椭圆的方程为 ,离心率 .
(2)解:由题意可知直线l的斜率显然存在,设其斜率为k(k≠0),且A(3,0).
则直线l的方程为y=k(x﹣3),设P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立 ,得:(1+3k2)x2﹣18k2x+27k2﹣6=0.
由△=(﹣18k2)2﹣4(1+3k2)(27k2﹣6)=12(2﹣3k2)>0,得: .
, .
由 ,得x1x2+y1y2=0.
即x1x2+(kx1﹣3k)(kx2﹣3k)=
= =0.
化简得: ,∴k= ,满足 .
(3)解: , ,
由已知得方程组 ,解得: .
∵F(2,0),M(x1,﹣y1).
故 =(λ(x2﹣3)+1,﹣y1)
= = .
而 .
∴ .
【解析】(1)首先由条件|OF|=2|FA|列式,求出椭圆的离心率,然后结合短轴长2b= 及a2=b2+c2可求a2 , 则椭圆方程可求;(2)写出过点A的直线方程,设出直线与椭圆相交于P、Q两点的坐标,联立直线方程和椭圆方程后求出P、Q两点的横坐标的和与积,由 ,得到P、Q两点的坐标的关系,转化为横坐标的关系后,把前面得到的和与积的表达式代入即可求出直线的斜率,则直线方程可求;(3)由向量的坐标表示写出 , ,再由 (λ>1)及P,Q两点的坐标都适合椭圆方程列式找出P,Q两点的坐标与λ的关系,最后把要证的等式的两边的坐标都用λ和纵坐标表示即可得证.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.
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【题目】已知数列{an}满足a1=2,且anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N+).
(1)求a2、a3、a4的值;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
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【题目】(用空间向量坐标表示解答)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,F在CC1上,且CF=1.
(1)求证:EF⊥A1C;
(2)求二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值.
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【题目】我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为 元(k为正常数).
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).
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【题目】设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0,x∈R},
(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣t|+ (x>0);
(1)判断函数y=f(x)在区间(0,t]上的单调性,并证明;
(2)若函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数,求实数t的取值范围.
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