【题目】如图,四边形ABCD是正方形,PD//MA,MA⊥AD,PM⊥平面CDM,MA=ADPD=1.
(1)求证:平面ABCD⊥平面AMPD;
(2)求三棱锥A﹣CMP的高.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)利用线面垂直的性质定理可得PM⊥CD,根据正方形的性质可得CD⊥AD,再利用线面、面面垂直的垂直的判定定理即可证出.
(2)利用等体法VA﹣CMP=VC﹣AMP,结合三棱锥的体积公式即可求出.
(1)∵PM⊥平面CDM,且CD平面CDM,∴PM⊥CD,
又∵ABCD是正方形,∴CD⊥AD,
在梯形AMPD中,PM与AD相交,
∴CD⊥平面AMPD,
又∵CD平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面AMPD;
(2)设三棱锥A﹣CMP的高为h,
由(1)知CD⊥平面AMPD,且PM⊥平面CDM,
∴PM⊥CM,PM⊥DM,
∵,
∴,,,
∴,
;
∵VA﹣CMP=VC﹣AMP,
∴;
即h1,
解得h;
∴三棱锥A﹣CMP的高为.
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【题目】改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).
(Ⅰ)从2007年至2016年这十年中随机选出一年,求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率;
(Ⅱ)从2007年至2011年这五年中随机选出两年,求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率;
(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】已知抛物线的焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线的切线交x轴于点D,交y轴于Q点,当时,.
(1)判断的形状,并求抛物线的方程;
(2)若两点在抛物线上,且满足,其中点,若抛物线上存在异于的点H,使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,求点H的坐标.
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【题目】设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M(MD),有x+l∈D,且f(x+l)f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:①函数f(x)=2﹣x为R上的1高调函数;②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数;③如果定义域为[﹣1,+∞)的函数f(x)=x2为[﹣1,+∞)上m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞);④函数f(x)=lg(|x﹣2|+1)为[1,+∞)上的2高调函数.其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】(本小题满分12分)贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查.
(1)求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率;
(2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为X,求X的分布列及其均值(即数学期望).
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【题目】已知双曲线的焦点是椭圆: ()的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动点, 在椭圆上,且,记直线在轴上的截距为,求的最大值.
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【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工月工资的中位数为百元(假设这名农民工的月工资均在(百元)内)且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名,则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.
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