Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n．则“|q|=

2

”是“S₆=7S₂”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：把|q|=

2

代入求和公式可知，前可退后；而由S₆=7S₂时，可解得q=-1，或q=±

2

，由充要条件的定义可得答案．

解答：解：当|q|=

2

时，S₆=

a1(1-( 2 )6)

1-| 2 |

=

-7a1

1-| 2 |

，
7S₂=7

a1(1-( 2 )2)

1-| 2 |

=

-7a1

1-| 2 |

，故S₆=7S₂；
当S₆=7S₂时，显然q=1不合题意，当q≠1时，

a1(1-q6)

1-q

=7

a1(1-q2)

1-q

，即（1-q²）（q⁴+q²-6）=0，
解得q=-1，或q=±

2

，故不能推出“|q|=

2

”
故“|q|=

2

”是“S₆=7S₂”的充分不必要条件，
故选A

点评：本题参考充要条件的判断，涉及等比数列的求和公式的应用，属中档题．