Question

【题目】已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用椭圆的性质首先证明，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D的坐标.

首先证明椭圆的一个性质：

椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则.

证明如下：设，，，

由于点是椭圆上的两点，故，

两式作差可得：，

此时 .

故结论成立.

回到本题，由题意可知：，

设直线PA的方程为：，则，

设直线PB的方程为：，则，

故，

故为外接圆的直径，

设所求的点为，

则：，

即，解得：，(舍去).

综上可得：所求点的坐标为：.