Question

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

Answer 1

(1) f(x)＝. (2)b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．
(3)证明：见解析

解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.
由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，
也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，
∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分
(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，
∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，
b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分
(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，
∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋
＝＝1－<1(n∈N^*)．