已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论函数在区间上的单调性;
(Ⅲ)证明不等式对任意成立.
(Ⅰ).
(Ⅱ)函数在区间单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
从而可得,
得到对任意成立.
通过取,,得,.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意成立.
解析试题分析:(Ⅰ)首先求,切线的斜率,求得切线方程.
(Ⅱ)当时,根据,只要考查的分子的符号.
通过讨论,得时在区间上单调递增;
当时,令求得其根. 利用“表解法”得出结论:函数在区间单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
从而可得,
得到对任意成立.
通过取,,得,.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意成立.
试题解析:.
(Ⅰ)当时,,切线的斜率,
所以切线方程为,即. 3分
(Ⅱ)当时,因为,所以只要考查的符号.
由,得,
当时,,从而,在区间上单调递增;
当时,由解得. 6分
当变化时,与的变化情况如下表:
函数在区间单调递减,在区间上单调递增. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增;
所以,
即对任意成立. 11分
取,,
得,即,. 13分
将上述n个不等式求和,得到:,
即不等式对任意成立. 14分
考点:1、导数的几何意义,2、
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com