Question

已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），将y写成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）进行放缩即得．
（Ⅱ）欲证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x，利用反证法，先假设存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，通过推出矛盾，从而得出假设不成立而得证；
（Ⅲ）先取函数f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1.

验证此函数符合题目中的（1），（2），（3）两个条件，但是f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．从而不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．

解答：解：（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，
∴当x=0时，f（x）≤2x．
假设存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
则x₀一定在某个区间x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]上．
设x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，
则f（2x₀）＞4x₀，f（4x₀）＞8x₀，┅，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀．
由x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]；
可知

1

2

＜2k-1x0≤1，且2^kx₀＞1，
∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1，
又f（2^k-1x₀）＞2^kx₀＞1．
从而得到矛盾，因此不存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀．
∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函数f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1.

则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．
任意取两个数x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若x1， x2∈[0，

1

2

]，
则f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分别属于区间[0，

1

2

]和(

1

2

，1]中一个，
则f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都属于(

1

2

，1]．
综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．（14分）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．