Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先根据[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，判断

f(x)

x

的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系．再根据函数的奇偶性判断-1＜x＜0和x＜-1时f（x）与0的关系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：∵[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
即x＞0时，

f(x)

x

是增函数
当x＞1时

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1时，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函数，
所以-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1时f（x）=-f（-x）＜0．
则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故选：D．

点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．