Question

【题目】已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.

(1)判断的奇偶性；

(2)求在区间[-3,3]上的最大值；

(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）奇函数（2）6（3）或者

【解析】

（1）令x＝y＝0f（0）＝0，再令y＝﹣x，f（﹣x）＝﹣f（x）；

（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；

（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；

取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，

∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立

∴f(x)为奇函数；

（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），

又∵f（x）为奇函数，

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；

∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）

而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；

∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；

∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；

（3）由（2）可知函数在的最大值为

所以要使对所有的恒成立

只需要

即对所有恒成立

令，则即解得

所以实数的取值范围是