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设函数f(x)=
a
b
-
3
2
a
=(3sin(ωx+φ),
3
sin(ωx+φ)),
b
=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))
其周期为π,且x=
π
12
是它的一条对称轴.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,
π
4
]
时,不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)利用向量的坐标运算及三角函数中的恒等变换可求得函数f(x)的周期为π,从而可求得ω,再由x=
π
12
为其一条对称轴可求得φ,于是可得f(x)的解析式;
(2)由x∈[0,
π
4
]可求得
π
3
≤2x+
π
3
6
,从而可求得f(x)=
3
sin(2x+
π
3
)的取值范围,由f(x)+a>0恒成立,即可求得a的取值范围.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
-
3
2
…(2分)
=3(sin(ωx+φ),
3
sin(ωx+φ))•(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))-
3
2

=3sin2(ωx+φ)+
3
sin(ωx+φ)•cos(ωx+φ)-
3
2

=
3
[
1
2
sin2(ωx+φ)-
3
2
cos2(ωx+φ)]
=
3
sin(2ωx+2φ-
π
3
)…(5分)
∵函数f(x)的周期为π,
∵ω=1…(6分)
又∵x=
π
12
为其一条对称轴,
∴2×
π
12
+2φ-
π
3
=
π
2
+kπ(k∈Z),
∴0<φ<
π
2
故φ=
π
3
…(7分)
∴f(x)=
3
sin(2x+
π
3
)…(8分),
(2)∵x∈[0,
π
4
],
π
3
≤2x+
π
3
6
…(9分)
∴f(x)=
3
sin(2x+
π
3
)的最小值为
3
2
…(10分)
由f(x)+a>0恒成立,得a>-
3
2
…(11分)
所以a的取值范围为(-
3
2
,+∞)…(12分)
点评:本题考查向量的坐标运算及三角函数中的恒等变换,考查函数解析式的确定,考查正弦函数的性质,突出化归思想与逻辑思维能力的考查,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a?b,其中向量
a
=(m,cos2x),
b
=(1+sin2x,1),x∈R,且y=f(x)的图象经过点(
π
4
,2)

(1)求实数m的值;
(2)求f(x)的最小正周期.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a-
22x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
(a-2)x,(x≥2)
(
1
2
)
x
 
-1,(x<2)
an=f(n)
,若数列{an}是单调递减数列,则实数a的取值范围为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(
2
,-2)
b
=(sin(
π
4
+2x),cos2x)
(x∈R).设函数f(x)=
a
b

(1)求f(-
π
4
)
的值;     
(2)求函数f(x)在区间[0,
π
2
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(5
3
cosx,cosx)
b
=(sinx,2cosx)
,其中x∈[
π
6
π
2
]
,设函数f(x)=
a
b
+|
b
|2+
3
2

(1)求函数f(x)的值域;        
(2)若f(x)=5,求x的值.

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