Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，延长DC交AB的延长线于点P．
（1）求证：PC²=PA•PB；
（2）若3AC=4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）证明：△PAC∽△PCB，可得$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{AC}{CB}$，即可证明PC²=PA，PB；
（2）若3AC=4BC，则$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4}{3}$，利用切割线定理，求线段PC的长．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，
∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC，
∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠PCA=∠PBC，
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PAC∽△PCB，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{AC}{CB}$，
∴PC²=PA•PB；
（2）解：∵3AC=4BC，∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4}{3}$，
设PC=4k，PB=3k，则PA=3k+7，
∴（4k）²=3k（3k+7），
∴k=3（k=0舍去），
∴PC=12．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．