Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若E点为PC的中点，点O为BD中点，证明EO∥平面PAB．

Answer 1

（1）由已知中的三视图，得：
棱锥的底面面积S_ABCD=1×1=1
棱锥的高PC为2
故棱锥的体积V=

1

3

×SABCD×2=

2

3

（2）证明：连接AC，交BD于O，
则AC⊥BD，
又∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥BD，
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC
又∵AE?平面PAC
∴BD⊥AE
即不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）证明：连接EO，由E，O分别为PC，AC的中点
∴OE∥PA，
又∵OE?平面PAB，PA?平面PAB
∴OE∥平面PAB