Question

13．已知函数f（x）=$\frac{k{x}^{2}}{{e}^{x}}$（k＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当k=1时，若存在x＞0，使lnf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）分离参数，构造新函数，g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max，由此可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）=$\frac{-kx（x-2）}{{e}^{x}}$，
当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
当k＞0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
（2）当k=1时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，x＞0，1nf（x）＞ax成立，
等价于a＜$\frac{2lnx-x}{x}$，设g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）_max，
g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{2}{e}$-1，
∴a＜$\frac{2}{e}$-1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．