Question

17．已知对一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 求出-a²+4a的最大值，再分类讨论，解不等式，即可求x的取值范围．

解答 解：-a²+4a=-（a-2）²+4≤4，
∵对一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，
∴|2x+1|+|x+2|≥4
x＜-2时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3≥4，∴x≤-$\frac{7}{3}$；
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1≥4，∴x≤-3，不成立；
x＞-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3≥4，∴x≥$\frac{1}{3}$
综上，x≤-$\frac{7}{3}$或x≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查求x的取值范围，考查函数的最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．