Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆G上一点到F₁和F₂的距离之和为12．圆C：x²+y²+2x-4y-20=0的圆心为点A．
（1）求椭圆G的方程；  
（2）求△AF₁F₂面积；
（3）求经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程；
（4）椭圆G是否在圆C的内部，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率为，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆G上一点到F₁和F₂的距离之和为12，求出几何量，即可求出椭圆的方程；
（2）确定A的坐标，即可求△AF₁F₂面积；
（3）确定圆的圆心坐标与半径，即可求经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程；
（4）确定椭圆的顶点（6，0）在圆外，k＜0时，（-6，0）在圆C_k外，即可判断椭圆G是否在圆C的内部．
解答：解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，
则，解得，∴b²=a²-c²=36-27=9
所求椭圆G的方程为：；
（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以 ；
（3）由题意，圆C：x²+y²+2x-4y-20=0可化为：（x+1）²+（y-2）²=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，
所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；    
（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，
若k＜0，由（-6）²+0²-12k-0-21=5-12k＞0，可知点（-6，0）在圆C_k外，
∴不论k为何值，圆C_k都不能包围椭圆G．
点评：本题考查考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．