Question

13．下列四个命题中，正确命题的序号是③
①函数y=x与函数y=a${\;}^{lo{g}_{a}x}$（a＞0，且a≠1）相同；
②若幂函数f（x）=x^α的图象过点（3，$\sqrt{3}$），则f（x）是偶函数；
③函数y=log_a（x-1）+1（a＞1）的图象必过定点（2，1）；
④函数f（x）=e^x+x-2的零点所在的一个区间是（-1，0）．

Answer 1

分析 由两函数的定义域不同说明①错误；由题意求出α，说明②错误；由对数函数的性质结合函数的图象平移说明③正确；由函数零点存在性定理说明④错误．

解答 解：①函数y=x的定义域为R，函数y=a${\;}^{lo{g}_{a}x}$（a＞0，且a≠1）的定义域为（0，+∞），两函数不是相同的函数，①错误；
②若幂函数f（x）=x^α的图象过点（3，$\sqrt{3}$），则$\sqrt{3}={3}^{α}$，$α=\frac{1}{2}$，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$为非奇非偶函数，②错误；
③∵y=log_ax（a＞1）的图象过点（1，0），∴函数y=log_a（x-1）+1（a＞1）的图象必过定点（2，1），③正确；
④∵f（1）•f（0）=（e-1）•（-1）＜0，函数f（x）=e^x+x-2的零点所在的一个区间是（0，1），④错误．
故答案为：③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的图象和性质，考查函数零点存在性定理，是基础题．