Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中： ①|BM|是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
其中正确的命题是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：取A1D的中点N，连结MN，EN， 则MN为△A1CD的中位线，∴MN CD，
∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE CD，
∴MN BE，
∴四边形MNEB是平行四边形，
∴BM EN，
∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；
又NE平面A1DE，BM平面A1DE，
∴BM∥平面A1DE，故④正确；
由勾股定理可得DE=CE=2 ，∴DE2+CE2=CD2 ，
∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，
∴DE⊥平面A1CE，又A1E平面A1CE，
∴DE⊥A1E，而这与∠AED=45°矛盾．故③错误．
所以答案是：①②④．

【考点精析】通过灵活运用棱锥的结构特征，掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方即可以解答此题．