Question

【题目】设.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】

（1）求函数导数，根据的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性；

（2）由（1）求函数在时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解.

（1），

，

①当时，即时，，

在上是减函数；

②当时，即时，

由，

解得，

当时，，当时，，

在单调递减，在上单调递增，

综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间；

时，函数在单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，

若时，在无最小值，所以f(x)>0不恒成立；

若时，

①当时，，

所以函数在上单调递增，

所以，

即当x>0时，f(x)>0恒成立；

②当时，，

函数在递减，在上递增，

所以当时，

，

只需即可，

令，，

则，

所以在上是增函数，

故，

即无解，

所以时，f(x)>0不恒成立。

综上，k的取值范围为.