Question

如图1：正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边AB、BC的中点，沿DE、EF、FD将△DAE、△EBF、△FCD折起来，使A、B、C三点重合于点S（如图2），构成三棱锥S-DEF．
（1）证明：DS⊥面SEF
（2）求三棱锥S-DEF的体积；
（3）求异面直线SF与DE所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：在三棱锥S-DEF中，由已知得，
DS⊥SE，DS⊥SF，
而SE∩SF=S，SE、SF?面DEF，
则DS⊥面DEF．
（2）由于DS=DA=1，
S△_SEF=S△_BEF=，
则V_S-DEF=
（3）SF⊥SE，SF⊥SD，而SE∩SD=S，
SE、SD?面SDE，则SF⊥面SDE．
∵DE?面SDE，
∴SF⊥DE．则异面直线SF与DE所成的角为90°．
分析：（1）根据正方形的性质和折叠前后变与不变的量，得到有两条边与DS垂直，根据线与面垂直的判断，得到结论．
（2）要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．
（3）要求异面直线所成的角，根据可以做出SF⊥面SDE，得到两条异面直线是垂直关系，这样得到角是90°．
点评：本题考查直线与平面之间的关系，题目中所用的条件比较特殊，第三问只要看出两条线之间的垂直关系就可以．