Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2．

（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为 ，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如下图，

取A1B的中点D，连接AD，

因AA1=AB，则AD⊥A1B

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，

且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC

因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC

（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

则CD是AC在平面A1BC内的射影

∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点

∴ ，且 ，

∴

过点A作AE⊥A1C于点E，连DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，

且直角△A1AC中：

又 ，

∴ ，

且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角

∴ ，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为 ．

【解析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．