Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-2cosx），-

π

4

＜x＜

π

2

．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x；
（Ⅱ）设f（x）=

a

•

b

，求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=-1，再由-

π

4

＜x＜

π

2

求得x的值．
（II）利用两个向量的数量积公式 化简 f（x）的解析式为

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移

π

8

+kπ（ k∈N） 个单位，或向右平移

7π

8

+kπ（ k∈N） 个单位即可．

解答：解：（I）若

a

∥

b

，则 sinx（sinx-2cosx）=cos²x，…（1分）
即-sin2x=cos2x，∴tan2x=-1．-----（2分）
又∵-

π

4

＜x＜

π

2

，∴-

π

2

＜2 x＜π，
∴2x=-

π

4

，或  2x=

3π

4

，即 x=-

π

8

 或 x=

3π

8

．--------（4分）
（II）∴f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）-1，…（7分）
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

．
又

π

4

＜x＜

π

2

，
∴f（x）的单调减区间时（-

π

4

，-

π

8

）、（

3π

8

，

π

2

）．…（11分）
（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移

π

8

+kπ（ k∈N） 个单位，或向右平移

7π

8

+kπ（ k∈N） 个单位，
即得函数 g（x）=

2

sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）

点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．