Question

17．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，C∈R），若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且对称轴是x=-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＞0）}\\{-f（x）（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）求g（2）+g（-2）的值；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=0}\\{f（0）=c=1}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，从而求出f（x）=（x+1）²，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x＞0}\\{-（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，由此能求出g（2）+g（-2）．
（2）当t≤-3时 f（x）在区间[t，t+2]上单调递减，当-3＜t＜-1时，f（x）在区间[t，-1]上单调递减，在区间[-1，t+2]上单调递增．当 t≥-1时，f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，由此能求出f（x）_min．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，C∈R），函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且对称轴是x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=0}\\{f（0）=c=1}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²
∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＞0）}\\{-f（x）（x＜0）}\end{array}\right.$，∴$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x＞0}\\{-（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴g（2）+g（-2）=（2+1）²-（2-1）²=8．
（2）当t+2≤-1时，即t≤-3时 
f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递减
∴$f{（x）_{min}}=f（t+2）={（t+3）^2}$
当 t＜-1＜t+2时，即-3＜t＜-1时 
f（x）=（x+1）²在区间[t，-1]上单调递减，
f（x）=（x+1）²在区间[-1，t+2]上单调递增．
当 t≥-1时，f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（t）=（t+1）²．

点评 本题考查函数值的求法，考查函数值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和分类讨论思想的合理运用．