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设平面向量
m
=(cos2
x
2
3
sinx),
n
=(2,1),函数f(x)=
m
n

(1)当x∈[-
π
3
π
2
]时,求函数f(x)的单调减区间;
(2)锐角△ABC的三个内角ABC对应一边分别是a,b,c,若f(c-
π
6
)=
2
+1,且b=4,△ABC的面积等于b,求c的值.
考点:两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,余弦定理
专题:三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析:(1)由向量数量积的坐标运算求得函数f(x)并化简,然后结合x的范围求得函数f(x)的取值范围;
(2)化简f(c-
π
6
)=
2
+1得可得sinC=
2
2
,△ABC的三个内角ABC都为锐角,故cosC=
2
2
,再据已知可求的a的值,从而根据余弦定理即可求出c的值.
解答: 解:(1)∵
m
=(cos2
x
2
3
sinx),
n
=(2,1),
∴f(x)=(cos2
x
2
3
sinx)•(2,1)
=2cos2
x
2
+
3
sinx
=cosx+
3
sinx+1
=2sin(x+
π
6
)+1.
因为x+
π
6
∈[2kπ+
π
2
,2kπ+
2
],k∈Z,⇒x∈[2kπ+
π
3
,2kπ+
3
]k∈Z,
故f(x)的单调递减区间为:[2kπ+
π
3
,2kπ+
3
](k∈Z);
(2)f(C-
π
6
)=2sinC+1=
2
+1,可得sinC=
2
2
,△ABC的三个内角ABC都为锐角,故cosC=
2
2

S△ABC=b=
1
2
×a×4×sinC=4,可得a=2
2

由余弦定理知:c2=a2+b2-2abcosC=8+16-16=8,
故可求得c=2
2
点评:本题考查平面向量数量积的运算,考查了三角函数中的恒等变换的应用,训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值,是中档题.
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3
sinwxsin(wx+
π
2
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3
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6
-
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2
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|PQ|
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12
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1
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+
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=
 

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1
x
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