Question

已知函数f（x）=elnx+

k

x

（e为自然对数的底，k为正数），
（Ⅰ）若f（x）在x=x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k及x_o的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求f（x）在[

1

e2

，e]上的最大值；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上不是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，由f'（x₀）=0求出x₀，代入f（x₀）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，根据k的范围得到导函数零点的范围，由导函数的零点对给出的区间分段，判出导函数在两区间段内的符号，得到原函数在区间[

1

e2

，1]上端点处取得最大值，通过比较两个端点值的大小得到答案．
（Ⅲ）欲使函数g（x）在区间（0，+∞）内不是单调函数，即使g′（x）在（0，+∞）上有解，然后转化成y=kx与f（x）=elnx+

k

x

在区间（0，+∞）有交点，可考虑临界位置，从而求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=elnx+

k

x

，所以f′（x）=

e

x

-

k

x2

=

ex-k

x2

，
由已知得f'（x₀）=0，即

ex0-k

x 2 0

=0，∴x0=

k

e

，
又f（x₀）=0，即elnx₀+

k

x0

=0，∴k=1，∴x0=

k

e

=

1

e

，
∴k=1，x0=

1

e

（Ⅱ）f′（x）=

e

x

-

k

x2

=

ex-k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1＜k≤e，∴

1

e

≤

k

e

≤1，
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)时，f（x）单调递减，x∈(

k

e

，1)时，f（x）单调递增，
故f（x）_max={f(

1

e

)，f(1)}，
又f(

1

e

)=ek-e，f（1）=k，
当ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e，f（x）_max=f(

1

e

)=ek-e，
当ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

时，f（x）_max=f（1）=k，
综上所述，f（x）在[

1

e2

，e]上的最大值为f（x）_max=

ek-e，   e e-1 ＜k≤e k，   1≤k≤ e e-1

，
（Ⅲ）g（x）=f（x）-kx=elnx+

k

x

-kx在区间（0，+∞）上不是单调函数，
即g（x）=elnx+

k

x

-kx在区间（0，+∞）有解，即elnx+

k

x

=kx在区间（0，+∞）有解，
即y=kx与f（x）=elnx+

k

x

在区间（0，+∞）有交点
考虑临界情形即直线与曲线相切时，设切点为（m，elnm+

k

m

）则

f′(m)= e m - k m2 =k km=elnm+ k m

解得m=1，k=

e

2

∴y=kx与f（x）=elnx+

k

x

在区间（0，+∞）有交点时0＜k＜

e

2

即k的取值范围0＜k＜

e

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．